ગેલેલિયોનો એકી સંખ્યાનો નિયમ: "સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ દ્વારા સમાન સમયગાળામાં કાપેલ અંતર, એકથી શરૂ થતી એકી સંખ્યાઓના ગુણોત્તરમાં હોય છે [એટલે કે, $1: 3: 5: 7 \ldots$]". સાબિત કરો.

(N/A) ધારો કે મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની ગતિના સમયગાળાને આપણે ઘણા સમાન અંતરાલો $\tau$ માં વિભાજિત કરીએ અને ક્રમિક સમયગાળા દરમિયાન કાપેલ અંતર શોધીએ। પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી, સમય $t$ પર સ્થાન $y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = -\frac{1}{2} g t^2$
આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, આપણે $t = 0, \tau, 2\tau, 3\tau, \dots$ સમયગાળા પછી પદાર્થનું સ્થાન ગણીએ છીએ। જો આપણે $y_0 = -\frac{1}{2} g \tau^2$ ને પ્રથમ અંતરાલ $\tau$ પછીનું સ્થાન ગણીએ, તો $n\tau$ સમયે સ્થાન $n^2 y_0$ થશે। $n$ માં અંતરાલમાં કાપેલું અંતર એ $n\tau$ અને $(n-1)\tau$ સમયના સ્થાન વચ્ચેનો તફાવત છે:
$n$ માં અંતરાલમાં અંતર $= |n^2 y_0 - (n-1)^2 y_0| = |(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) y_0| = (2n - 1) |y_0|$.
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ માટે, અંતર $1|y_0|, 3|y_0|, 5|y_0|, 7|y_0|, \dots$ મળે છે। આમ, અંતરનો ગુણોત્તર $1: 3: 5: 7: \dots$ છે, જે એકી સંખ્યાઓ છે। આ નિયમ ગેલેલિયો ગેલીલી ($1564$-$1642$) દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેઓ મુક્ત પતનનો જથ્થાત્મક અભ્યાસ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા।